Documents :

Voici une liste de documents que j'ai rédigés et que je trouve suffisamment intéressants pour être diffusés. J'essaye d'expliquer à chaque fois le cheminement qui m'a amené à vouloir les diffuser et aussi les différentes références qui m'ont été utiles. Je présente aussi un bref aperçu du contenu des documents et si besoin le cadre d'étude.
Ayant rédigé la majorité de ces documents durant ma deuxième année post baccalauréat il peut y avoir des imprécisions (mauvaise utilisation du formalisme mathématique par exemple) et des erreurs (mathématiques, mais aussi d'orthographe…). En cas de coquille, pour me communiquer vos avis ou encore si vous avez une question, vous pouvez me contacter à l'adresse .
Si vous souhaitez rediffuser un de ces documents, je vous demande de mettre un lien vers l'adresse du fichier sur ce site plutôt que de le copier sur votre serveur, afin de ne garder que la dernière version en ligne et d'éviter ainsi la diffusion de versions antérieures pouvant contenir des erreurs.

Vulgarisation

Fondements des mathématiques : Cantor et Gödel

Fichier pdf (573,9 KiO) - Slides (english) (556,0 KiO)

En cours de rédaction, la partie 3 (logique) va être entièrement refaite…
Cet article présente les débuts de la logique mathématiques en se rattachant à l'histoire de la crise des fondements. La première partie présente le contexte historique et ne contient aucune information théorique. La seconde partie quant à elle présente les travaux de Cantor qui ont initié la théorie des ensembles, pour cela on a expliqué et démontré certains résultats fondamentaux de ce dernier de façon rigoureuse. Ensuite la troisième et dernière partie donne des démonstrations et des détails à propos des deux résultats de Gödel de 1931, ainsi que leurs conséquences en ce qui concerne les fondements des mathématiques.

Slides :
J'ai eu à présenter un exposé pour le cours d'anglais sur un thème quelconque. J'ai donc choisit la logique mathématique et le premier théorème d'incomplétude de Gödel. La présentation me semble suffisamment intéressante pour être mise en ligne. Comme elle reprend des points de l'article (des fois en mieux du fait du recul) je pense qu'elle est à sa place ici.

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Cryptographie quantique

Fichier pdf (Taille 450,2 KiO)

Il s'agit d'un travail que j'ai eu à rendre dans le cadre d'une UEL (Introduction à la physique quantique du 21è siècle).
On présente d'abord la cryptographie classique et ses faiblesses : algorithmes de cryptographie symétrique, algorithmes de cryptographie asymétrique (voir RSA ci-après par exemple) pour aboutir au système du masque jetable théoriquement inviolable.
La mécanique quantique va nous permettre de l'implémenter : il ne s'agit en fait non pas vraiment de cryptographie quantique, mais de l'utilisation de propriétés quantiques pour implémenter des procédés de la cryptographie classique. Dans le cadre du masque jetable, on utilise la mécanique quantique pour la gestion des clés, c'est pour cela qu'il est préférable de parler de distribution quantique de clés plutôt que de cryptographie quantique. Le protocole présenté est BB84 (Charles H. Bennett et Gilles Brassard en 1984) avec une brève présentation de E91 (Artur Ekert en 1991).
À voir : une vidéo sur la polarisation et une vidéo de vulgarisation sur les fentes d'Young (vostfr).

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L'algorithme RSA

Fichier pdf (Taille 361,0 KiO)

RSA est un algorithme de cryptographie à clé publique développé par Ron Rivest, Adi Shamir et Len Adleman en 1977.
Le but de cet article est de présenter RSA de façon rigoureuse tout en ne nécessitant pas un lourd bagage mathématique. En effet la majorité les notions nécessaires sont introduites et démontrées (Il s'agit en fait souvent de cas particuliers de théorèmes d'algèbre plus abstraits). Seuls quelques prérequis d'arithmétique sont utilisés directement.

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TIPE : les codes correcteurs d'erreurs

Fichier pdf (Taille 6,5 MiO)

Il s'agit du TIPE que j'ai préparé durant l'année scolaire 2008/2009. Le thème était L'Information et mon sujet portait sur l'étude de certains codes correcteurs d'erreurs. Le fichier contient ma trace écrite, mon programme modèle, et les résultats obtenus.
Le TIPE est une épreuve orale à peu près équivalente au TPE que l'on présente en première : il s'agit d'un oral suivi d'un dialogue avec les examinateurs.

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Mathématiques

Théorème d'Erdös-Kaplansky

Fichier pdf (258,0 KiO)

J'ai eu connaissance de ce théorème dans une note en bas de page de ce devoir maison (archive).
Ce théorème énonce que si E est un espace vectoriel de dimension infinie alors la dimension et le cardinal de l'espace dual sont égaux. Un corollaire étudié est que si E est un espace vectoriel de dimension infinie alors E et son espace dual ne sont jamais isomorphes, contrairement au cas de la dimension finie.
J'ai trouvé ce théorème sous ce nom en exercice dans Algèbre 1-3 (chapitre II, page 193) de N. Bourbaki et accompagné d'une démonstration dans le Cours de mathématiques spéciales, tome 1 : Algèbre de B. Gostiaux.
Comme la démonstration proposée par B. Gostiaux est très intéressante (elle fait appel à plein de notions, j'ai vraiment aimé la travailler) et que je n'ai trouvé aucune démonstration de ce théorème sur internet (ce théorème a désormais un article sur wikipédia, ce qui n'était pas le cas lorsque j'ai rédigé ce document), j'ai décidé d'en rédiger une que voici. Elle est basée sur celle de B. Gostiaux mais retravaillée de façon à être accessible pour un étudiant en bac+2 (la version originale utilise des propriétés démontrées plus tôt dans le livre qui ne sont pas forcément accessibles sans l'étude proposée, j'ai donc essayé de les contourner).
Une petite note concernant le nom : la plus ancienne trace que j'ai trouvé de ce théorème remonte aux Lectures in abstract algebra, vol II (1953) de Nathan Jacobson (Chapter IX, §5). L'auteur ne nomme pas ce théorème mais le démontre à l'aide d'un lemme dont il précise dans une note qu'il lui a été rapporté par Irving Kaplansky qui l'a lui même démontré avec Paul Erdös.
Dans le Jacobson et le Bourbaki, le théorème est formulé de la façon suivante : « Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps K avec une base indexée par un ensemble I. Alors dim(E*)=(card(K))card(I) ». On passe à la version présentée ici à l'aide du lemme 1 de l'article qui met en évidence que (card(K))card(I)=card(E*).

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Complétude et dimension d'un espace vectoriel normé

Fichier pdf (300 KiO)

Le but de cet article est de chercher les liens entre la dimension d'un espace vectoriel normé et de son hypothètique complétude. On se pose la question de savoir si la dimension d'un e.v.n. peut nous apporter des précisions sur sa complétude.
Le document commence avec des rappels puis enchaine sur le cas de la dimension finie (toujours en cours de rédaction, mais présent dans tous les cours traitant du sujet) : tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.
On s'attarde ensuite sur un résultat assez inattendu : aucun espace vectoriel normé de dimension dénombrable n'est complet. Pour cela on propose deux démonstrations, d'abord comme une application du théorème de Baire, ensuite en utilisant le résultat très connu sur les séries à termes dans un e.v.n. complet comme quoi la convergence absolue implique la convergence simple.

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Localisation des valeurs propres : les disques de Gerschgorin

Fichier pdf (Taille 284,8 KiO)

On retrouve de nombreuses équations aux valeurs propres (que ce soit en mathématiques avec, par exemple, les systèmes d'équations linéaires ou les équations différentielles ordinaires, ou en physique avec, par exemple, l'étude des vibrations ou l'équations des ondes, ou même en statistique).
C'est pourquoi la recherche des valeurs propres est utile en analyse numérique.
Ce document présente une méthode dite globale, c'est-à-dire qui ne permet pas d'approximer chaque valeur propre, mais qui tente d'approximer l'ensemble des valeurs propres : la méthode des disques de Gerschgorin.
Suite à quoi il démontre quelques moyens (parmi tant d'autres) pour tenter d'affiner cette méthode. Ces méthodes sont intéressantes et assez peu répandues sur internet. C'est ce qui a justifié mon choix en ce qui concerne la diffusion de ce document.
Notons que Gerschgorin a développé la méthode initiale (sous le nom de théorème de Gerschgorin dans ce document) en 1931.

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Les ellipsoïdes de John et de Löwner

Fichier pdf (Taille 421,7 KiO)

La convexité est une notion à la fois ancienne et récente. En effet, Archimède en propose une ébauche de définition aux alentours de 250 avant notre ère. Cependant il n'y a pas vraiment d'étude de la convexité jusque très récemment. Tout d'abord la convexité est utilisé par les physiciens avec Newton en 1720 (qui cherche à classifier les singularités des courbes algébriques), Poinsot aux alentours de 1800 (pour des raisons de statique) ou encore chez Fourier.
On doit cependant la première définition rigoureuse de la convexité à Minkowsi au début du siècle dernier. Ensuite son étude retombe dans l'oubli jusque dans les années 1950, suite à quoi son étude s'intensifie et se diversifie. En effet la convexité permet de simplifier de nombreux problèmes et on la retrouve dans de nombreux domaines mathématiques (Programmation linéaire, géométrie, analyse, probabilités…).
C'est dans ce cadre que les ellipsoïdes de John et de Löwner sont apparues. Il sont en effet utilisé pour approximer des convexes compacts.
Une fois ces ellipsoïdes présentés, nous en donnerons une application surprenante en géométrie et en théorie des groupes mais qui ne fait cependant pas appel à la convexité : tout sous-groupe compact du groupe linéaire laisse invariant au moins une structure euclidienne.
Pour les personnes souhaitant une présentation de la convexité, je ne peux que vous conseiller les livres de Marcel Berger, avec la collaboration de Pierre Damphousse, Convexité dans le plan, dans l'espace et au-delà : de la puissance et de la complexité d'une notion simple ainsi que l'article Convexity de Berger.

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Sur le problème de la tétration infinie, ou infinite power tower

Fichier pdf (Taille 509,2 KiO)

Ce document étudie la tétration infinie xxx… : pour quels x est-ce bien défini ? Et le cas échéant, quelle est sa valeur ?
L'étude est précédée d'une courte présentation historique du problème et contient une bibliographie relativement conséquente et un lien vers une très vaste bibliographie pour ceux qui veulent aller plus loin.
La démonstration est peut-être un peu technique, mais reste accessible à des étudiants de L1. Elle est tournée de sorte à ne pas partir du résultat pour le démontrer, mais de façon à le rechercher.

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Le petit théorème de Picard

Fichier pdf (Taille 117,3 KiO)

Ce document rédigé par un ami, Aladin Virmaux, présente une démonstration du petit théorème de Picard.
Ce théorème stipule que toute fonction entière non constante a pour image ℂ oté d'au plus un point. Il s'agit donc d'une amélioration conséquente du théorème de Liouville.
Il doit son nom au mathématicien Charles Émile Picard et admet lui-même une amélioration : on peut en plus montrer que chaque point de l'image d'une telle fonction admet une infinité d'antécédents, c'est le grand théorème de Picard. Cependant la démonstration de cette dernière assertion est beaucoup plus compliquée.

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Mémoire de M1 : Groupoïde fondamental et revêtements

Fichier pdf (Taille 704 KiO)

Ce mémoire a été réalisé sous la direction de M. Ingo Waschkies.
Il s'agissait de démontrer que lorsque X est un espace topologique localement semi-1-connexe alors la catégorie des revêtements de X, Rev(X), est équivalente à la catégorie des représentations du groupoïde fondamental de X, Rep(Π1(X),Ens). C'est-à-dire que ces deux catégories sont essentiellement les mêmes.
Pour cela nous présentons d'abord une brève construction du groupoïde fondamental Π1(X) d'un espace topologique X. Ensuite nous introduisons la notion de revêtement d'un espace topologique : on peut voir un revêtement d'un espace topologique comme une pile de feuilles au-dessus de cet espace.
Afin de construire une représentation du groupoïde fondamental de X à partir d'un revêtement de X, nous aurons besoin de la notion de relèvement qui consiste à relever une application continue à valeurs dans X, en une application continue à valeurs dans les feuilles d'un revêtement de X. Nous obtiendrons un foncteur, dit de monodromie, entre Rev(X) et Rep(Π1(X),Ens).
Nous étudierons enfin la notion de revêtement universel afin de montrer que le foncteur de monodromie est bien une équivalence de catégories lorsque X est localement semi-1-connexe.
L'interêt d'utiliser la théorie des catégories est que nous n'avons pas besoin de fixer de point de base.

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Correspondance de Galois des revêtements

Fichier pdf (Taille 580 KiO)

En cours de rédaction…
Ce document fait suite au mémoire précédent. Il s'agit d'utiliser l'équivalence de catégories obtenue pour démontrer dans un premier temps que nous avons une correspondance biunivoque entre les classes d'isomorphie des revêtements galoisiens connexes et les sous-groupes distingués du groupe fondamental π1(X,x0). Nous généraliserons ensuite ce procédé pour obtenir cette fois une bijection entre les classes d'isomorphie des revêtements et les sous-groupes du groupe fondamental.
On retrouve ainsi un résultat analogue à celui que l'on connait concernant les extensions algébriques d'un corps de caractéristique nulle.
La place privilégiée du revêtement universel dans ces correspondances va nous permettre de proposer une autre preuve de la correspondance de Galois dans l'annexe C à l'aide des actions continues de groupe topologique : les revêtements connexes peuvent tous s'écrire, à isomorphisme près, comme quotient du revêtement universel. Cette construction nous permet de transporter l'ordre d'inclusion des sous-groupes du groupe fondamental aux classes d'isomorphie des revêtements connexes.
Le document commence par quelques rappels sur les actions de groupe, que nous utiliserons tout au long du document, puis nous nous remémorerons la construction de l'action (à droite de monodromie). Nous présenterons ensuite les revêtements galoisiens, pour enfin aboutir sur la correspondance recherchée.
Une première annexe décrit les liens entre les actions de groupe et les représentations de groupoïde (afin d'utiliser l'équivalence de catégories du mémoire), ensuite une deuxième annexe présente une version catégorique du théorème de relèvement et enfin, l'annexe C donne une démonstration alternative de la correspondance nous permettant de transporter l'ordre d'inclusion.

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Définition faisceautique d'une variété

Fichier pdf (Taille 468 KiO)

Ce document est le support d'un exposé dont le but est d'introduire les définitions faisceautiques des variétés différentielles et des variétés algébriques.
Nous commençons par présenter de façon informelle la notion géométrique de variété.
Ensuite nous partons de la définition usuelle d'une variété différentielle à l'aide d'un atlas maximal pour introduire les faisceaux d'anneaux et dans le but d'obtenir une caractérisation faisceautique de ces dernières.
Enfin, nous reprenons le modèle de construction faisceautique d'une variété différentielle pour définir la notion de variété algébrique : la majeure partie du travail consiste à définir un modèle local.

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Décomposition de Dunford

Fichier pdf (Taille 246,1 KiO)

La décomposition de Dunford est un résultat d'algèbre linéaire lié à la réduction des endomorphismes :
Supposons u un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension finie, ayant son polynôme minimal scindé.
Alors il existe un unique couple (n,d) d'endomorphismes de E tel que : u=n+d, n et d commutent, n est nilpotent, d est diagonalisable. De plus n et d sont des polynômes en u.
Deux démonstrations de la décomposition de Dunford sont données : la version usuelle et une version effective très en vogue sur internet.
Cette dernière est basée sur la méthode de Newton-Raphson pour la résolution d'équations.
En plus de la décomposition de Dunford, cet article contient aussi les démonstrations du théorème (ou lemme) des noyaux et d'un critère de codiagonalisation (généralisé en annexe).

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Caractérisation des topologies par leurs voisinages

Fichier pdf (Taille 169,2 KiO) et note.pdf (Taille 132,0 KiO)

Il s'agit d'un théorème que j'ai rencontré dans le Cours de mathématiques spéciales, tome 2 : Topologie et analyse réelle de B. Gostiaux et au début du livre Topologie Générale I-IV de N. Bourbaki.
Le fait qu'une topologie soit aussi caractérisée par ses voisinages (et non seulement ses ouverts) me semble intéressant. La démonstration vaut aussi le détour du fait qu'elle est accessible sans aucune notion particulière de topologie.
Le fichier note.pdf traite d'une spécificité de la définition d'une topologie : les ouverts sont souvent définis comme devant vérifier trois points (E et ∅ sont des ouverts, stabilité par réunion, stabilité par intersection finie) alors que le premier point résulte des deux suivants.

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Exercices

Exercice portant sur la propriété de Borel-Lebesgue

Fichier pdf (Taille 127,3 KiO)

On dit qu'une partie d'un espace topologique est compacte si et seulement elle est séparée et vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de la partie par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini. Une caractérisation des compacts dans un espace métrique (qui est donc séparé) est qu'ils respectent la propriété de Bolzano-Weierstrass : toute suite à valeur dans la partie admet une valeur d'adhérence dans cette dernière.
Dans le programme des classes préparatoires on travaille sur des espaces vectoriels normés et on définit les parties compactes comme les parties de l'espace vectoriel normé vérifiant la propriété de Bolzano-Weierstrass.
Le but de cet exercice que j'ai eu en khôlle est de présenter (il ne s'agit pas d'une démonstration exhaustive) un sens de la caractérisation dans notre cadre d'étude (on travail dans des espaces vectoriels normés, la propriété de séparation est donc vérifiée) : il s'agit de montrer qu'un compact (selon notre définition, c'est à dire partie vérifiant la propriété de Bolzano-Weierstrass) vérifie la propriété de Borel-Lebesgue pour un certain recouvrement par des ouverts.
Ceci est traité dans la première question, j'ai cependant laissé la seconde question vu que je la trouve intéressante.
À voir : vidéo illustrant le théorème (et non propriété) de Borel-Lebesgue (ou Heine-Borel pour les anglophones) : les parties compactes de ℝn sont les parties fermées et bornées.

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